煩悩是道場さんのエントリー「面積を求めよ」で懐かしい問題(*)が出題されていたので再挑戦。
問題の図形を正方形と平凸レンズ形×４と捉え、
S=Sq＋4SL……（１）
(*)小学校5年生のとき、授業態度が悪かった私に当時の担任S島先生が出した問題。そのときは確か１辺は10cmで、√３が計算できなくてものさしで正三角形の高さを計った覚えがある。おかげで算数の授業中は好きなことをやっていていいというお許しはいただいたが、そういわれるとまじめに授業を聞くようになったりするから子どもって分からんよね。
S=Sq＋4SL……（１）
SLは「半径a、中心角π/6の扇形」から「2辺がa、挟角がπ/6の三角形」を除いたものであるから、
SL=(π/12-1/4)a2……（２）
（∵2辺がa、挟角がπ/6の三角形は、aが底辺となるように置くと高さa/2となる）
Sqの対角線の長さは、1辺aの正三角形の高さが√3/2・aであることを利用して(√3-1)aとあらわせるから、
Sq=(√3-1)2a2=(2-√3)a2……（３）
（２）（３）を（１）に代入して
S=(2-√3+(π/12-1/4)×4)a2=(1-√3+π/3)a2